Mesure principale d'un angle orienté de vecteurs - Exemples

Exemples
Déterminer la mesure principale d'un angle orienté dont une mesure est \(\dfrac{21\pi}{4}\).
Même question pour un angle orienté de mesure \(-\dfrac{43\pi}{6}\).

Méthode 1 Par tâtonnement

• \(\dfrac{21\pi}{4} \color{red}{\notin~ ]-\pi\,;\pi]}\)
  En retirant \(\color{blue}{2\pi}\) à \(\dfrac{21\pi}{4}\), on obtient une autre mesure du même angle orienté. 
  On répète l'opération jusqu'à tomber sur la mesure principale de l'angle.
  
• \(\dfrac{21\pi}{4}\color{blue}{-2\pi}=\dfrac{21\pi}{4}\color{blue}{-\dfrac{8\pi}{4}}=\dfrac{13\pi}{4}\color{red}{\notin~]-\pi\,;\pi]}\)
  \(\dfrac{13\pi}{4}\color{blue}{-2\pi}=\dfrac{13\pi}{4}\color{blue}{-\dfrac{8\pi}{4}}=\dfrac{5\pi}{4}\color{red}{\notin~]-\pi\,;\pi]}\)
  \(\dfrac{5\pi}{4}\color{blue}{-2\pi}=\dfrac{5\pi}{4}\color{blue}{-\dfrac{8\pi}{4}}=-\dfrac{3\pi}{4}\color{green}{\in~]-\pi\,;\pi]}\)
  Donc \(-\dfrac{3\pi}{4}\) est la mesure principale d'un angle orienté dont une mesure est \(\dfrac{21\pi}{4}\).
  
•  \(-\dfrac{43\pi}{6} \color{red}{\notin ~]-\pi\,;\pi]}\)
  En ajoutant \(\color{blue}{2\pi}\) à \(-\dfrac{43\pi}{6}\), on obtient une autre mesure du même angle orienté. 
  On répète l'opération jusqu'à tomber sur la mesure principale de l'angle.
  
• \(-\dfrac{43\pi}{6}\color{blue}{+2\pi}=-\dfrac{43\pi}{6}\color{blue}{+\dfrac{12\pi}{6}}=-\dfrac{31\pi}{6}\color{red}{\notin~]-\pi\,;\pi]}\)
  \(-\dfrac{31\pi}{6}\color{blue}{+2\pi}=-\dfrac{31\pi}{6}\color{blue}{+\dfrac{12\pi}{6}}=-\dfrac{19\pi}{6}\color{red}{\notin~]-\pi\,;\pi]}\)
  \(-\dfrac{19\pi}{6}\color{blue}{+2\pi}=-\dfrac{19\pi}{6}\color{blue}{+\dfrac{12\pi}{6}}=-\dfrac{7\pi}{6}\color{red}{\notin~]-\pi\,;\pi]}\)\(-\dfrac{7\pi}{6}\color{blue}{+2\pi}=-\dfrac{7\pi}{6}+\color{blue}{\dfrac{12\pi}{6}}=\dfrac{5\pi}{6}\color{green}{\in~]-\pi\,;\pi]}\)
  Donc \(\dfrac{5\pi}{6}\) est la mesure principale d'un angle orienté dont une mesure est \(-\dfrac{43\pi}{6}\).

Cette méthode a cependant des limites lorsque le nombre de « tours » à retirer ou à ajouter pour obtenir la mesure principale devient important.

Méthode 2 Par division euclidienne 

• Dans la division euclidienne de \(21\) par \(4\), le quotient est \(5\) et le reste est \(1\), ce qui s'écrit \(21=4\times 5+1\).
  Ainsi \(\dfrac{21\pi}{4}= \dfrac{(4\times 5+1)\pi}{4}=\dfrac{4\times 5\pi+\pi}{4}=5\pi+\dfrac{\pi}{4}=\color{blue}{4\pi}+\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)\).
  \(\color{blue}{4\pi}\) correspond à 2 tours complets du cercle trigonométrique, donc une autre mesure de notre angle est \(\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}\color{red}{\notin~]-\pi\,;\pi]}\).
  Donc la mesure principale est \(\dfrac{5\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{3\pi}{4}\color{green}{\in~]-\pi\,;\pi]}\).
  
• De la même manière, \(43=6\times7+1\).
  Ainsi \(-\dfrac{43\pi}{6}= -\dfrac{(6\times 7+1)\pi}{6}=\dfrac{-6\times 7\pi-\pi}{6}=-7\pi-\dfrac{\pi}{6}=\color{blue}{-8\pi}+\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)\).
  \(\color{blue}{8\pi}\) correspond à 4 tours complets du cercle trigonométrique, donc une autre mesure de notre angle est \(\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\color{green}{\in~]-\pi\,;\pi]}\) qui est sa mesure principale.